8-jiseob

[seobeeeee1001]

🔗 문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/11047

✔️ 소요된 시간

10분

✨ 수도 코드

DP 접근

처음엔 DP로도 풀 수 있겠다 싶어서

점화식을 d[i] = min ( d[i-A1] , d[i-A2] , ... , d[i-AN] ) + 1 과 같이 세워봤습니다.

그런데 K 가 1억이라 NK가 10억이 돼서 시간초과가 발생합니다.

그리디 접근

그 다음으로 생각할 수 있는건 그리디입니다.

직관적으로 가치가 큰 동전 순서대로 최대한으로 쓰면 사용하는 동전의 개수가 최소가 됩니다.

그렇지만 그리디는 연습할 때는 간단한 증명이라도 하는게 나중에 실전에서 좋다고해서 한번 해보겠습니다.

10원 50원 100원 500원이 있다고 했을 때,

명제 : 500원을 최대한으로 많이 써야한다.

명제를 증명하기 전에 보조정리를 증명해보겠습니다.

보조 정리 :

10원/100원은 4개 이하로 사용해야합니다

50원은 1개 이하로 사용해야합니다.

귀류법으로 10원, 100원을 5개 이상으로 쓴다면

50원이나 500원으로 대체가능합니다.

50원도 2개 이상 쓰면 100원으로 대체가능합니다.

따라서 보조 정리를 따라야 개수가 최적화된다는 것을 알 수 있습니다.

보조 정리를 통해서 우리는 10원/50원/100원으로 최대한 만들 수 있는 액수가 490원인 것을 알 수 있습니다.

즉, 500원을 감당하지 못하기 때문에 500원을 최대한 많이 사용해야므로 명제가 증명이 됩니다.

100원, 50원, 10원에도 마찬가지의 논리를 적용할 수 있으므로 차례대로 사용하면 됩니다.

일반적인 상황에서도 증명이 되냐 의문이 든다면

문제에서 배수 관계가 있다는 조건이 있으므로 대체 가능성, 어떤 숫자보다 작은 배수 관계 숫자들의 합이 그 수 보다 작다는 것을 확인한다면 의문이 풀리실 겁니다. (예를 들어 1,2,4,8,16 에서는 8까지 더해도 15가 됩니다.)

📚 새롭게 알게된 내용

[Seol-Munhyeok]

동전의 개수를 최소화하라는 유형은 '회의실 배정' 문제 ( https://www.acmicpc.net/problem/1931 ) 와 더불어서 대표적인 그리디 알고리즘 문제 중 하나입니다.
동전 문제가 그리디 알고리즘이 최적이 되려면 반드시 동전간의 관계가 배수 관계일 때만 성립합니다. 이는 지섭님이 증명해주셨는데 증명의 핵심은 500원 두 개를 주는 게 최적이라 가정하면, 1000원 한 개 주는 방법이 최적이 되기때문에 앞의 가정에 모순되므로 반드시 가치가 큰 것부터 나누어주는 것이 최적이 됩니다.

n, k = map(int, input().split())
coins = [int(input()) for _ in range(n)]
answer = 0

# 가장 큰 가치의 동전부터 탐색
for i in range(n-1, -1, -1):
    if k == 0:
        break
    coin = coins[i]
    answer += k // coin
    k %= coin

print(answer)

그러나 동전간의 관계가 배수관계가 아닌 경우 그리디는 성립하지 않습니다.
간단한 반례로 동전이 1, 10, 11 이렇게 있고 20원을 줘야하는 상황을 가정해봅시다.
그리디한 접근으로는 11원 1개와 1원 9개로 총 10개의 동전이 필요하지만 실제로는 10원 동전 2개를 주는 것이 답이됩니다.

이 처럼 동전간의 관계가 배수관계가 아닐 때는 지섭 님이 처음 접근한 DP 접근으로 풀 수 있습니다.
동전 1 ( https://www.acmicpc.net/problem/2293 ) 문제가 딱 그러한 문제이니 한 번 풀어보시면 좋을 거 같습니다.