A correlation sensitivity analysis of non-life underwriting risk in solvency capital requirement estimation

[kwoongbae]

Paper 정보

• https://www.cambridge.org/core/journals/astin-bulletin-journal-of-the-iaa/article/correlation-sensitivity-analysis-of-nonlife-underwriting-risk-in-solvency-capital-requirement-estimation/8C16299AF4E9DFCD13C5C7EA3697705E
• Bermúdez et al. (2013)
• Citation : 22

contributions

• 보험사 내부모형 기반의 internal approach를 제안하였으며, internal approach기반 그리고 standard approach(솔벤시2 규제모형) 기반의 솔벤시자본요구량 (SCR)을 산출하여 비교함.
• internal approach 제안과정에서 copula를 사용하였으며, 2가지의 Copula(가우시안, Student's t)와 2가지의 Margin(가우시안, Student's t)을 조합하여 결과를 비교함.

comments

• 본 논문은 선형회귀 기반의 각 LoBs별 net result를 추정 후, copula 기반의 상관관계를 추정하여 최종 SCR값을 산출하였음.
• 이 과정에서 R값을 정규분포와 Student's t분포로 가정하였는데, 이는 실증 데이터 분포를 반영했다고 보기에는 아쉬워보임.

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논문 읽으면서 궁금한 점 정리

1. (p.26) Afterward, we estimated the SCR for this internal model as the difference between 99.5% value-at-risk and the expected value of the random variable $\tilde{R}_{T+1}$.

• 잘 모르겠음... VaR 기반의 SCR산출, ES 기반의 SCR산출은 본 적이 있는데 둘 간의 차이로 SCR산출을 하는것은 이해가 잘 안감..

2. (p.27) 표준정규분포와 Student's t분포의 차이점은?

• Student's t 분포는 정규분포의 평균을 측정할 때 사용하는 분포임 ($\frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}$).
• 자유도가 한개라서 표준정규분포보다 더 평평하고 꼬리가 더 가늚. 자유도가 커지면 표준정규분포로 근사
• 정규분포가 설명하지 못하는 낮은 표본 크기에서의 자연스러운 신뢰도 감소를 조정함.
• 

3. (p.29) copula는 비선형 상관관계를 설명할 수 있나?

• 설명할 수 있음. 다시 말해, copula를 돌리면 비선형 상관관계 값이 딱하고 나오는게 아니라, 비선형 상관관계를 가지고 있는 변수들 간의 joint cdf(변수들 간의 종속성)를 구할 수 있음.
• 각 변수들의 margin distribution 확인 및 cdf로 변환 $\rightarrow$ copula 함수 선택 및 fitting하여 모든 변수들에 대한 joint cdf (분포들 간의 종속성)를 산출
• 기존의 상관성 구조를 파악하기 위한 방법으로 선형 상관계수 (correlation coefficient)가 있으나, 보험이나 재무, 금융과 관련된 자료는 꼬리부분이 두터운 분포를 보이기 때문에, 꼬리부분을 다룰 때에는 선형 상관관계보다는 copula를 이용한 방법이 더 타당하다고 할 수 있음.
• 정준영 (2014), 최창희 외 (2013)

4. (p.30) As this information is made available in 21 insurance branches, we have reclassified it to coincide with the lines of business established by the QIS-5.

• 직접적으로 관련이 있는 것은 아님.
• UNESPA에서 제안한 가이드라인을 기반으로, 본 논문에서 사용한 데이터셋에서의 21개의 LoB들을 QIS-5에서 제안한 12개의 LoB들로 재분류를 하였음을 의미함.

5. Copula를 통해 SCR을 어떻게 산출을 하였는지?

• copula 기반의 종속성을 기반으로 각 LoBs들의 net result 분포 모수를 추정함.
• 이렇게 추정한 모수 기반으로 분포를 생성해서 (i) 독립적일 때, (ii) QIS-5기반으로 할 때, (iii) comonotonicity할 때 기반의 상관관계 이용하여 SCR를 산출한 것임.

6. (p.35) We also believe that this approach does not take into account the premium security margin but rather the underwriting premiums, which could result in wrong conclusions being drawn when comparing two companies with the same premium volumes but different premium security margins.

• 가입자가 미래에 발생할 손실을 cover하기 위해 지불하는 옵션으로, daily for all options한다는 점이 가장 큰 특징임 (premium margin is calculated on a daily basis).
• 따라서 underlying security price가 증가하면, 추가적인 premium margin을 지불해야함.

7. Margin과 premium의 차이는?

• margin은 일반적으로 제품생산 및 서비스 제공에 드는 비용과 해당 제품 및 서비스 판매 가격간의 차이를 의미함. 총 마진, 영업마진, 순이익률 등이 margin의 종류임.
• 반면, premium은 제품이나 서비스에 대해 표준가격 이상으로 추가지불하는 금액을 말함. 또한, 더 높은 품질의 제품이나 서비스를 위해 추가지불하는 비용을 의미하기도 함.
• 요약하자면, margin은 원가와 판매가격의 차이를 의미하며, premium은 제품, 서비스, 또는 유가 증권에 대해 추가로 지불하는 금액을 의미함.

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핵심 내용 : Copula

Copula란?

• 다변량 분포함수와 주변분포함수를 연결시키는 함수
• 개별 데이터분포와 데이터 간의 종속성 구조를 분리하여 모형화함.
• 시뮬레이션을 하면서 종속관계를 유지하는 확률변수들을 생성할 때 유용함.
• 특정 분포를 가정한 독립적인 난수생성은 쉽지만, 종속관계를 유지하는 변수는 뽑기 어려움.. $\rightarrow$ copula로 해결

Copula 종류
(1) Elliptical copula (대칭형 copula)

• Gaussian copula와 Student's t copula로 나뉨.
• Gaussian copula에 대해서, n개의 정규 확률변수와 선형관계R이 있을 때, 다음과 같이 표현 : $C^{Ga}_R (u) = \Pi^n_R (\Pi^{-1}(u_1), ..., \Pi^{-1}(u_n))$
• Student's t copula에 대해서, 상관계수 행렬 $\rho$와 자유도가 $\nu$인 표준 다변량 분포가 있을 때, 다음과 같이 표현 : $C^t_{\nu, R}(u) = r^n_{\nu, R} (t_{\nu}^{-1} (u_1), ..., t_{\nu}^{-1} (u_n))$

(2) Archimedean copula (Frank 빼고 비대칭형)

• Clayton, Frank, Gumbel로 구성.
• 모수를 한 개만 가지며, 여러가지 다른 종속성 구조를 설명할 수 있음.
• 예를 들어, 두 주식 가격이 하락하면 Clayton이 강한 종속성을 보이고, 두 주식 가격이 상승하면 Gumbel이 강한 종속성을 보이고, Frank는 Clayton과 Gumbel의 두 가지 경우 모두에 해당하는 왼쪽과 오른쪽 꼬리의 종속성을 똑같이 증대시키는 경우에 효과적이라고 함....
• 순서통계량을 기반으로 일치성의 확률에서 불일치성의 확률을 차감하는 방식의 kendall의 $\tau$를 이용해서 copula 모수를 추정할 수 있음.

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핵심 내용 : 본 논문의 SCR 산출과정 요약

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